本書為科學出版社“十四五”普通高等教育本科規(guī)劃教材。本書力求將數(shù)值方法和計算機實現(xiàn)相結合，以計算方法設計為基礎，圍繞計算原理和計算步驟闡述的主線展開。內容涵蓋線性方程組和非線性方程的求解、多項式插值與逼近、數(shù)值積分與數(shù)值微分、常微分方程數(shù)值解等傳統(tǒng)數(shù)值分析內容，還特別加入快速Fourier變換、圓周率計算的外推法等在計算數(shù)學史上非常重要的內容。每章配備習題和上機實驗題，還通過二維碼鏈接了部分彩圖，方便讀者直觀理解算法。
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2019年獲得湖南省首屆研究生優(yōu)秀導師獎，首屆全國大學生數(shù)學建模競賽優(yōu)秀指導教師獎。共獲得二項軍隊（省部級）教學成果一等獎（3）、一項二等獎（3），2018年獲得國家級教學成果二等獎（3）
目錄
前言
第1章 引論 1
1.1 計算機中算術運算的基本概念 3
1.1.1 位與整形 3
1.1.2 計算機中浮點數(shù)系統(tǒng)簡介 3
1.2 誤差與誤差分析 6
1.2.1 誤差及其來源 6
1.2.2 近似數(shù)的誤差與有效數(shù)字 8
1.3 誤差傳播 13
1.3.1 初始誤差傳播分析 13
1.3.2 浮點誤差及其傳播 16
1.4 控制誤差傳播的有效方法 18
1.4.1 避免兩個相近的數(shù)相減 18
1.4.2 避免“大數(shù)”吃掉小數(shù)的現(xiàn)象.20
1.4.3 設計快速算法 21
1.4.4 注意控制誤差的積累 22
1.5 多項式求值的秦九韶算法舍入誤差分析 24
習題1 26
第2章 線性方程組的直接法28
2.1 引言 28
2.2 向量和矩陣范數(shù) 30
2.2.1 向量范數(shù) 30
2.2.2 矩陣范數(shù) 32
2.3 Gauss消去法 38
2.3.1 Gauss消去法 38
2.3.2 選主元的Gauss消去法 40
2.4 矩陣的三角分解法 42
2.4.1 Doolittle分解法.42
2.4.2 Cholesky分解法 47
2.4.3 三對角方程組的追趕法 50
2.5 誤差分析 51
2.5.1 右端項的擾動 51
2.5.2 系數(shù)矩陣的擾動 52
第2章 評注 58
習題2 58
上機實驗題 60
第3章 線性方程組的迭代法61
3.1 引言 61
3.2 一般迭代格式及其收斂性 62
3.3 幾種經典迭代算法 67
3.3.1 Jacobi迭代法 67
3.3.2 Gauss-Seidel迭代法 69
3.3.3 逐次超松弛迭代法(SOR迭代法) 71
3.4 幾種經典迭代法的收斂性 74
第3章 評注 80
習題3 81
上機實驗題 82
第4章 非線性方程求解的迭代法 84
4.1 引言 84
4.2 搜索法 85
4.2.1 逐步搜索法 85
4.2.2 二分法 86
4.2.3 騎墻法 88
4.3 迭代法及其收斂性 90
4.3.1 不動點迭代法 90
4.3.2 不動點迭代的收斂性 93
4.3.3 局部收斂性與收斂階 96
4.3.4 Newton迭代法.98
4.3.5 割線法 102
4.3.6 迭代法加速收斂技術 103
4.4 非線性方程組的Newton法 107
第4章 評注 110
習題4 111
上機實驗題 112
第5章 多項式插值.113
5.1 引言 113
5.2 Lagrange插值115
5.2.1 Lagrange插值多項式 116
5.2.2 Lagrange插值余項與誤差估計 118
5.3 Newton插值 122
5.3.1 逐步插值多項式的生成 122
5.3.2 差商及其計算 124
5.3.3 Newton插值多項式 126
5.4 Hermite插值 127
5.5 分段低次插值 132
5.5.1 Runge現(xiàn)象.132
5.5.2 分段線性插值 133
5.6 三次樣條函數(shù) 135
5.6.1 三次樣條函數(shù) 135
5.6.2 三次樣條插值的構造方法 136
第5章 評注 142
習題5 142
上機實驗題 144
第6章 多項式擬合與最佳逼近 146
6.1 引言 146
6.2 最小二乘擬合 146
6.2.1 擬合曲線 146
6.2.2 最小二乘多項式擬合 149
6.2.3 加權最小二乘擬合 155
6.3 離散Fourier變換(DFT)與快速Fourier變換(FFT) 159
6.4 最佳平方逼近與正交多項式 164
6.4.1 最佳逼近 164
6.4.2 正交多項式 167
6.4.3 幾種常見的正交多項式 169
6.4.4 正交多項式在最佳逼近中的應用 175
第6章 評注 182
習題6 183
上機實驗題 185
第7章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 186
7.1 引言 186
7.2 Newton-Cotes 公式 187
7.2.1 基本求積公式 187
7.2.2 代數(shù)精度 191
7.2.3 Newton-Cotes積分的收斂性與穩(wěn)定性 192
7.2.4 復合梯形積分 193
7.2.5 復合Simpson求積公式 198
7.3 Richardson外推法與Romberg求積 199
7.3.1 松弛技術與Richardson外推法 199
7.3.2 割圓術與圓周率計算 201
7.3.3 圓周率計算的Richardson外推法 202
7.3.4 Romberg求積法 204
7.4 Gauss型積分.207
7.5 數(shù)值微分 213
7.5.1 一階導數(shù)的計算 214
7.5.2 二階導數(shù)的計算 216
7.5.3 從數(shù)值微分加速看Richardson外推法 216
第7章 評注.221
習題7 221
上機實驗題 223
第8章 常微分方程數(shù)值解 224
8.1 引言.224
8.2 Euler方法及其改進方法 226
8.2.1 Euler方法 226
8.2.2 Euler方法的誤差分析 228
8.2.3 后退Euler方法與梯形方法 229
8.2.4 改進的Euler方法 231
8.3 Runge-Kutta方法 233
8.3.1 一般Runge-Kutta方法 233
8.3.2 二階Runge-Kutta方法 235
8.3.3 三階和四階 Runge-Kutta方法 236
8.3.4 變步長Runge-Kutta 方法 240
8.4 單步法的收斂性與穩(wěn)定性 241
8.4.1 相容性 241
8.4.2 收斂性 243
8.4.3 穩(wěn)定性 245
8.5 線性多步法 248
8.5.1 線性多步法的一般公式 248
8.5.2 Adams顯式與隱式方法 250
8.5.3 Adams預測-校正格式 253
8.6 多步法的收斂性與穩(wěn)定性 254
8.6.1 相容性 254
8.6.2 收斂性 255
8.6.3 穩(wěn)定性 258
第8章 評注.260
習題8 261
上機實驗題 263
參考文獻 264
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