本書是一本介紹隨機(jī)微分方程的基本思想與方法的簡明型教材，先在緒論部分引入隨機(jī)微分方程的基本概念和背景知識，隨后在第2章介紹概率論的基本理論。第3章和第4章深入探討了布朗運(yùn)動、白噪聲、隨機(jī)積分的預(yù)備知識、It？積分的核心內(nèi)容（包括It？公式和乘積公式）。第5章系統(tǒng)地闡述了隨機(jī)微分方程的定義、解的存在唯一性以及解的性質(zhì)，特別關(guān)注了線性隨機(jī)微分方程的解法。第6章則將理論與實際應(yīng)用相結(jié)合，展示了隨機(jī)微分方程在金融、物理等多個領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，如期權(quán)定價和最優(yōu)停時問題。
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目錄
前言
第1章 緒論 1
1.1 動機(jī) 1
1.2 確定和隨機(jī)微分方程 2
1.3 隨機(jī)微分 3
1.4 Ito鏈?zhǔn)椒▌t 4
第1章 練習(xí) 6
第2章 概率論中的基本理論 8
2.1 基本定義 8
2.1.1 Bertrand悖論.8
2.1.2 概率空間 10
2.1.3 隨機(jī)變量 12
2.1.4 隨機(jī)過程 14
2.2 數(shù)學(xué)期望、方差 15
2.3 分布函數(shù) 17
2.4 獨(dú)立性 20
2.4.1 條件概率 20
2.4.2 獨(dú)立事件 21
2.4.3 獨(dú)立隨機(jī)變量 23
2.5 Borel-Cantelli引理 26
2.6 特征函數(shù) 27
2.7 強(qiáng)大數(shù)定律、中心極限定理 29
2.7.1 強(qiáng)大數(shù)定律 29
2.7.2 Laplace-De Moivre定理 32
2.7.3 中心極限定理 34
2.8 條件期望 36
2.8.1 動機(jī) 36
2.8.2 條件期望的定義方法1 .36
2.8.3 條件期望的定義方法2 .38
2.8.4 性質(zhì) 40
2.9 鞅 42
2.9.1 定義 42
2.9.2 鞅不等式 44
第2章 練習(xí) 45
第3章 布朗運(yùn)動和白噪聲 50
3.1 動機(jī) 50
3.1.1 溯源 50
3.1.2 隨機(jī)游走 51
3.1.3 數(shù)學(xué)驗證 52
3.2 布朗運(yùn)動的定義、基本性質(zhì) 54
3.2.1 布朗運(yùn)動的定義 54
3.2.2 聯(lián)合概率的計算 54
3.2.3 白噪聲 56
3.3 構(gòu)造布朗運(yùn)動.59
3.3.1 正交基展開 59
3.3.2 布朗運(yùn)動的構(gòu)造 60
3.3.3 Rn上的布朗運(yùn)動 66
3.4 樣本路徑 68
3.4.1 樣本路徑的連續(xù)性 68
3.4.2 處處不可微性 71
3.5 Markov性 74
第3章 練習(xí) 76
第4章 隨機(jī)積分 78
4.1 預(yù)備知識 78
4.1.1 Paley-Wiener-Zygmund隨機(jī)積分 78
4.1.2 黎曼和 80
4.2 Ito積分 85
4.2.1 非可料過程 85
4.2.2 階梯過程 86
4.2.3 Ito積分的定義和性質(zhì) 89
4.2.4 定義擴(kuò)展 90
4.2.5 Ito不定積分 91
4.3 Ito公式和乘積公式 92
4.3.1 Ito公式 92
4.3.2 Ito公式的應(yīng)用 93
4.3.3 Ito乘積公式 95
4.3.4 Ito公式的證明 98
4.3.5 更一般的Ito公式 98
4.4 高維中的Ito積分 99
4.4.1 符號和定義 99
4.4.2 Ito公式和乘積公式 100
第4章 練習(xí) 103
第5章 隨機(jī)微分方程 105
5.1 定義和例子 105
5.1.1 預(yù)備工作 105
5.1.2 線性隨機(jī)微分方程的例子 106
5.2 解的存在唯一性 112
5.2.1 一維情形 112
5.2.2 通過變量代換解隨機(jī)微分方程 114
5.2.3 一般的存在唯一性定理 116
5.3 解的性質(zhì) 121
5.4 線性隨機(jī)微分方程 123
5.4.1 解的形式:狹義線性隨機(jī)微分方程 124
5.4.2 解的形式:一般標(biāo)量線性方程 125
5.4.3 線性隨機(jī)微分方程的一些解法 125
第5章 練習(xí) 128
第6章 應(yīng)用與拓展.131
6.1 停時 131
6.1.1 定義、基本性質(zhì) 131
6.1.2 隨機(jī)積分和停時 133
6.1.3 帶停時的Ito公式 134
6.1.4 布朗運(yùn)動和Laplace算子 135
6.2 在偏微分方程中的應(yīng)用、Feynman-Kac公式 135
6.2.1 偏微分方程解的概率表示公式 135
6.2.2 Feynman-Kac公式 138
6.3 最優(yōu)停時 140
6.3.1 隨機(jī)微分方程的停時 140
6.3.2 最優(yōu)停時 141
6.3.3 解值函數(shù)問題 143
6.3.4 設(shè)計最優(yōu)停時 143
6.4 期權(quán)定價 144
6.4.1 基本問題 145
6.4.2 套利和對沖 145
6.4.3 數(shù)學(xué)模型 146
6.4.4 總結(jié) 148
6.5 Stratonovich積分 148
6.5.1 動機(jī) 148
6.5.2 近似白噪聲 149
6.5.3 近似解 149
6.5.4 Stratonovich積分的定義 150
6.5.5 Stratonovich鏈?zhǔn)椒▌t 152
6.5.6 SDE的轉(zhuǎn)換公式 153
6.5.7 總結(jié) 154
第6章 練習(xí) 154
附錄156
附錄A Laplace-De Moivre定理的證明 156
附錄B 離散鞅不等式的證明158
附錄C 不定 Ito積分連續(xù)性的證明 159
參考文獻(xiàn) 161
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