目 錄 第一章 函數(shù)、極限與連續(xù) 第一節(jié) 一元函數(shù) 一、集合 / 二、函數(shù)的概念 / 三、函數(shù)的性質(zhì) / 四、復合函數(shù)與反函數(shù) / 五、基本初等函數(shù) / 六、初等函數(shù) / 七、函數(shù)的參數(shù)表示和極坐標表示/ 思考題1.1 / 習題1.1 / 第二節(jié) 極限的概念 一、引言 / 二、數(shù)列的極限 / 三、函數(shù)的極限 / 思考題1.2 / 習題1.2 / 第三節(jié) 無窮小量與無窮大量 一、無窮小量 / 二、無窮大量 / 三、無窮小量的性質(zhì) / 思考題1.3 / 習題1.3 / 第四節(jié) 極限的運算法則與性質(zhì) 一、極限的運算法則 / 二、極限的性質(zhì) / 思考題1.4 / 習題1.4 / 第五節(jié) 兩個重要極限 一、極限存在準則 / 二、兩個重要極限 / *三、柯西收斂準則 / 思考題1.5 / 習題1.5 / 第六節(jié) 無窮小量的比較 一、問題的引入 / 二、無窮小量的比較 / 三、利用等價無窮小量求極限 / 思考題1.6 / 習題1.6 / 第七節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性 一、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 / 二、連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì) / 三、初等函數(shù)的連續(xù)性 / 四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) / *五、一致連續(xù) / 思考題1.7 / 習題1.7 / 第八節(jié) 應用實例與思政案例 一、應用實例：連續(xù)計息問題 / 二、應用實例：神奇的科赫曲線 / 三、思政案例：斐波那契數(shù)列與數(shù)學之美 / 總習題一 第二章 導數(shù)與微分 第一節(jié) 導數(shù)的概念 一、兩個經(jīng)典問題 / 二、導數(shù)的定義 / 三、單側導數(shù) / 四、導數(shù)的幾何意義 / 五、函數(shù)連續(xù)與可導的關系 / 思考題2.1 / 習題2.1 / 第二節(jié) 求導法則 一、導數(shù)的四則運算法則 / 二、反函數(shù)的求導法則 / 三、復合函數(shù)的求導法則 / 四、基本初等函數(shù)的求導公式 / 思考題2.2 / 習題2.2 / 第三節(jié) 高階導數(shù) 一、高階導數(shù)的概念 / 二、幾個初等函數(shù)的高階導數(shù) / 三、高階導數(shù)的運算法則 / 思考題2.3 / 習題2.3 / 第四節(jié) 隱函數(shù)和參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù) 一、隱函數(shù)的導數(shù) / 二、對數(shù)求導法 / 三、參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù) / 思考題2.4 / 習題2.4 / 第五節(jié) 微分 一、概念的引出 / 二、微分的定義 / 三、微分與導數(shù)的關系 / 四、微分的幾何意義 / 五、微分的基本公式和運算法則 / 六、微分在近似計算中的應用 / 思考題2.5 / 習題2.5 / 第六節(jié) 應用實例 一、應用實例：相關變化率 / 二、應用實例：飛機降落曲線問題 / 習題2.6 / 總習題二 第三章 微分中值定理與導數(shù)的應用 第一節(jié) 微分中值定理 一、羅爾中值定理 / 二、拉格朗日中值定理 / 三、微分中值定理的初步應用 / 思考題3.1 / 習題3.1 / 第二節(jié) 洛必達法則 一、直觀描述 / 二、00型未定式 / 三、∞∞型未定式 / 四、其他類型的未定式 / 思考題3.2 / 習題3.2 / 第三節(jié) 函數(shù)幾何性態(tài)的研究 一、函數(shù)單調(diào)性的判定 / 二、曲線的凹凸性與拐點 / 三、函數(shù)的極值 / 四、函數(shù)圖形的描繪 / 五、曲率——曲線彎曲程度的定量描述 / 思考題3.3 / 習題3.3 / 第四節(jié) 最值問題 思考題3.4 / 習題3.4 / 第五節(jié) 應用實例與思政案例 一、應用實例：運輸問題 / 二、應用實例：鐵路軌道彎道設計問題 / 三、思政案例：曲率的應用——為什么我國高鐵一定要走高架橋 / 總習題三 第四章 不定積分 第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì) 一、原函數(shù)與不定積分的概念 / 二、不定積分的基本公式 / 三、不定積分的性質(zhì) / 思考題4.1 / 習題4.1 / 第二節(jié) 不定積分的基本積分法 一、換元積分法 / 二、分部積分法 / 思考題4.2 / 習題4.2 / 第三節(jié) 幾種特殊類型函數(shù)的不定積分 一、有理函數(shù)的不定積分 / 二、三角函數(shù)有理式的不定積分 / 三、簡單無理函數(shù)的不定積分 / *四、“積不出”的不定積分 / 思考題4.3 / 習題4.3 / 總習題四 第五章 定積分及其應用 第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì) 一、兩個經(jīng)典問題 / 二、定積分的定義 / 三、定積分的幾何意義 / 四、定積分的存在定理 / 五、定積分的性質(zhì) / 思考題5.1 / 習題5.1 / 第二節(jié) 微積分基本公式 一、積分上限的函數(shù)及其導數(shù) / 二、牛頓萊布尼茨公式 / 思考題5.2 / 習題5.2 / 第三節(jié) 定積分的計算 一、定積分的換元積分法 / 二、定積分的分部積分法 / 思考題5.3 / 習題5.3 / 第四節(jié) 定積分在幾何學上的應用 一、定積分應用的微元法 / 二、平面圖形的面積 / 三、某些特殊立體的體積 / 四、平面曲線的弧長 / *五、旋轉(zhuǎn)體的側面積 / 思考題5.4 / 習題5.4 / 第五節(jié) 定積分在物理學上的應用 一、變力沿直線所做的功 / 二、液體的靜壓力 / *三、引力 / 思考題5.5 / 習題5.5 / 第六節(jié) 反常積分 一、無限區(qū)間上的反常積分 / 二、無界函數(shù)的反常積分 / *三、反常積分的審斂法 / *四、Γ函數(shù) / 思考題5.6 / 習題5.6 / 第七節(jié) 應用實例與思政案例 一、應用實例:橢圓柱形油罐中油量的刻度問題 / 二、應用實例:衛(wèi)星橢圓軌道周長的簡便計算方法 / 三、思政案例：數(shù)學在航天科技中的應用 / 習題5.7 / 總習題五 第六章 微分方程與數(shù)學建模初步 第一節(jié) 微分方程的基本概念 一、引例 / 二、微分方程的幾個概念 / 思考題6.1 / 習題6.1 / 第二節(jié) 一階微分方程 一、可分離變量的微分方程 / 二、一階線性微分方程 / 三、變量代換 / 思考題6.2 / 習題6.2 / 第三節(jié) 微分方程模型的建模簡介 一、微分方程模型的建模步驟 / 二、微分方程模型在不同領域中的應用 / 習題6.3 / 第四節(jié) 可降階的高階微分方程 一、形如y (n)=f(x)的微分方程 / 二、形如y″=f(x，y′)的微分方程 / 三、形如y″=f(y，y′)的微分方程 / 思考題6.4 / 習題6.4 / 第五節(jié) 線性微分方程及其解的結構 一、線性微分方程 / 二、線性微分方程解的結構 / *三、常數(shù)變易法 / 思考題6.5 / 習題6.5 / 第六節(jié) 常系數(shù)線性微分方程的解法 一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法 / 二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法 / 思考題6.6 / 習題6.6 / *第七節(jié) 特殊的二階變系數(shù)線性微分方程——歐拉方程 習題6.7 / 第八節(jié) 應用實例與思政案例 一、應用實例：振動模型 / 二、應用實例：最速降線問題 / 三、思政案例：最速降線與變分法的誕生 / 習題6.8 / 總習題六 附錄一常見的平面曲線 附錄二積分表